Question

3个倒数很基本的问题

1.设函数f(x)在0处可导 又F(x)=(1+绝对值sinx)f(x). 那么F(x)在x=0处可导的充要条件是f(0)=0还是f(0)的导数=0？ 题目上是证和f(0)=0充要 但我觉得不对 如果是f(0)=0应该怎么证？
2.求y=x+lnx反函数的导数 答案是(x+1)分之x 但不应该是用y表示吗？难道反函数不易求 x就不用换成y了？
3.求y=(x/(1+x))^x的倒数 答案中x有范围 而题目中x是R 如果x不在那个范围内x就不可导吗？ 还有这题在用对数求导法的时候 绝对值该怎么加 我按例题中的样子加 到最后多出来个绝对值
懂得帮忙下。。。谢拉

Answer 1

1.
f(0)=0,则F(x)=0且F(x)在x=0处的左右极限都为0,则F(x)在x=0处是连续的.
而 lim(x→0-)[F(x)-F(0)]/(x-0)=lim(x→0-)F(x)/x =lim(x→0-)(1+|sinx|)f(0)/x =0,
lim(x→0+)[F(x)-F(0)]/(x-0)=lim(x→0+)F(x)/x =lim(x→0+)(1+|sinx|)f(0)/x =0,
即F(x)在x=0处的左右导数相等,都是0,故充分条件满足.
若F(x)在x=0处可导,则F(x)在x=0处导数存在且左右导数相等.
则: lim(x→0-)[F(x)-F(0)]/(x-0) =lim(x→0-)(1+|sinx|)f(0)/x =lim(x→0-)(1-sinx)·f(0)/x = lim(x→0-) f(0)/x,令其为A,则
lim(x→0+)[F(x)-F(0)]/(x-0) =lim(x→0+)(1+|sinx|)f(0)/x =lim(x→0+)(1-sinx)·f(0)/x = lim(x→0+) f(0)/x = -A !
即:如果 f(0)≠0,则F(x)在x=0处的左右导数是不相等的,它们互为相反数.
所以,F(x)在x=0处可导的充要条件是f(0)=0.

2.
最先求出的形式是x=y/(y+1),但反函数的导数也是一个函数,我们通常写函数的习惯是把x看作自变量,所以最后把x和y换一下位置.只不过更改一下表达用字母,而函数的实质丝毫没有改变.

3.求y=(x/(1+x))^x的导数 答案中x有范围 而题目中x是R 如果x不在那个范围内x就不可导吗？ 还有这题在用对数求导法的时候 绝对值该怎么加 我按例题中的样子加 到最后多出来个绝对值

y=(x/(1+x))^x =e^[x·ln((x+1-1)/(1+x))]
=e^[x·ln(1-1/(1+x))]
令φ(x)=x·ln(1-1/(1+x)),则
y'=e^φ(x)·φ'(x) =(x/(1+x))^x·φ'(x) ;
φ'(x)=ln(1-1/(1+x)) + x/[1-1/(1+x)]'
=ln(1-1/(1+x)) + x/[1/(1+x)^2]
=ln(1-1/(1+x)) + x·(1+x)^2
则y'=(x/(1+x))^x·[ln(1-1/(1+x)) + x·(1+x)^2].
题目中x的范围不是R:显然 x/(1+x)不能小于0,则x不能取
-1≤x≤0 这个范围.