Question

fx=e^x(x^3+mx^2-2x+2)若m=-2,求fx的极值。是否存在实数m使fx在[-2

-1]上单调递增，若存在求出m的范围，若不存在说明理由。

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Answer 1

f'(x)=e^x(x³+mx²-2x+2+3x²+2mx-2)=xe^x[x²+(m+3)x+2(m-1)]
当m=-2时， f'(x)=xe^x(x²+x-6)=x(x+3)(x-2)e^x
得极值点x=-3, 0, 2
f(-3)=-37e^(-3)为极小值；
f(0)=2为极大值；
f(2)=-2e²为极小值。

要使f(x)在[-2, -1]上单调增，则在此区间须有f'(x)≥0
即x²+(m+3)x+2(m-1)≤0
x²+3x-2+m(x+2)≤0
记t=x+2, 则t的取值为[0, 1]
x=t-2,不等式化为：(t-2)²+3(t-2)-2+mt≤0
t²-t-4+mt≤0
t=0时不等式成立，
t在(0, 1]时， 得m≤(4+t-t²)/t=4/t-t+1
而t/4-t+1在此区间为减函数，当t=1取最小值为1/4
故有m≤1/4.