Question

计算定积分1）∫ （上√2/2下0）arccosxdx （2）∫（上1下0）x▪e^（-x)dx

（（1）∫ （上√2/2下0）arccosxdx
（2）∫（上1下0）x▪e^（-x)dx

Answer 1

(1)
∫(0->√2/2) arccosx dx
= [xarccosx]|(0->√2/2) +∫(0->√2/2) x/√(1-x^2) dx
=(√2/2)(π/4) - (1/2)∫(0->√2/2) d(1-x^2)/√(1-x^2)
=(√2/8)π - [√(1-x^2)]|(0->√2/2)
=(√2/8)π - (√2/2 -1)
=(√2/8)π -√2/2 +1

(2)
∫(0->1) xe^(-x)dx
=-∫(0->1) xde^(-x)
=-[xe^(-x)]|(0->1) + ∫(0->1) e^(-x) dx
=-e^(-1) -[e^(-x)]|(0->1)
=1- 2e^(-1)