Question

一道高一的数学题，应该不难可我就是不会，

已知F(X) 是定义在（－∞，∞）上的不恒为零的的函数，且对定义域内的任意的x，y，f（X)都满足f（x·y）=y·f（x)+x·f（y)
①求f（1），f（-1）的值；
②判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

Answer 1

令x=y=1得 f(1)=f(1)+f(1) 又因为f（x）不为0，故f(1)=0
令x=y=-1得 f(1)=-f(-1)-f(-1) 故f(-1)=0
令y=-1得 f(-x)=-f(x)+xf(-1) 故f(-x)=-f(x)； f(x)为奇函数
上面是楼上的做法，非常正确，而且这题也只能这样做。
对付这种给出抽象函数等式的问题，可以从问题入手，举个例子：就第一问，求f（1），那么就要想如何用题设来构造出f（1），以下也是一样的。

Answer 2

令x=y=1得 f(1)=f(1)+f(1) 故f(1)=0
令x==y=-1得 f(1)=-f(1)-f(-1) 故f(-1)=0
令y=-1得 f(-x)=-f(x)+xf(-1) 故f(x)=-f(-x) f(x)为奇函数
希望对你有所帮助