Question

已知0<x<1/3,求函数y=x(1-3x)的最大值?

下面做法错在哪里？y=x(1-3x)<=[ (x+1-3x)/2]^2=(1-2x)^2,当且仅当x=1-3x,即x=1/4时取等号，求得最大值为1/16，这种做法错在哪里？正确做法网上搜一下即可。

Answer 1

所举解法错在利用均值不等式时，未考虑使用前提“一正二定三相等”.
事实上，x+(1-3x)=1-2x≠定值，不符合“一正二定三相等”中的“定”.
正确解法如下:
0<x<1/3，则x>0且1-3x>0.
∴y=x(1-3x)
=(1/3)·3x·(1-3x)
≤(1/3)·[(3x+(1-3x))/2]²
=1/12.
故3x=1-3x，即x=1/6时，
所求最大值为: 1/12。

当然，如此简单问题，也可直接用配方法:
y=x(1-3x)
=-3x²+x
=-3(x²-1/3x+1/36)+1/12
=-3(x-1/6)²+1/12.
∴x=1/6∈(0，1/3)时，
所求最大值为: 1/12。

Answer 2

错在取等号时，
和不是定值，x+1-3x=1-2x(该式不是定值)
均值不等式应用的三点一正二定三相等。

Answer 3

有两种方法：
①这是一个二次函数，y=x-3x^2，因为0<x<1/3，所以根据二次函数图像轻松得出值域是（0,1/12]，最大值是1/12
②利用均值不等式。y=3x(1-3x)*1/3，因为0<x<1/3，所以3x(1-3x)≤1/4，当且仅当x=1/6时，等号成立，所以最大值是1/12

Answer 4

用均值不等式，首要条件是和为常数，
上面式子 ，X+1-3X不是常数，
所以必须配备系数，让其和为常数。
如：Y=1/3×3X(1-3X)≤1/3［(3X+1-3X)/2］^2=1/12，
或Y=3×X(1/3-X)≤3［(X+1/3-X)/2］^2=3×1/36=1/12。