Question

两个n阶初等矩阵的乘积可能为奇异矩阵

Answer 1

不对，初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积也是可逆矩阵，一定是非奇异矩阵。因为任意一个可逆矩阵都可以表示成若干个初等矩阵相乘，这是可逆的充要条件。所以，乘积一定是可逆矩阵，但不一定是初等矩阵。

非奇异矩阵等于若干个初等矩阵的乘积。非奇异矩阵，一定可以通过若干步的初等行变换，变成单位阵。每一步的初等行变换都相当于左乘一个初等矩阵。即这个非奇异矩阵就等于这些初等矩阵的逆的乘积。

判断方法

首先，看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。 然后，再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。

同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

Answer 2

不对，初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积也是可逆矩阵，一定是非奇异矩阵。因为任意一个可逆矩阵都可以表示成若干个初等矩阵相乘，这是可逆的充要条件。所以，乘积一定是可逆矩阵，但不一定是初等矩阵。

非奇异矩阵等于若干个初等矩阵的乘积。非奇异矩阵，一定可以通过若干步的初等行变换，变成单位阵。每一步的初等行变换都相当于左乘一个初等矩阵。即这个非奇异矩阵就等于这些初等矩阵的逆的乘积。

扩展资料：

一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个同构。

一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

参考资料来源：百度百科-奇异矩阵

Answer 3

你好！不对，初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积也是可逆矩阵，一定是非奇异矩阵。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！