Question

如图,边长为4的菱形ABCD中,角DAB=60°,E是AD上的动点(与A,D不重合),F是CD上的动点，且AE+CF=4

(1)求证：不论点E,F的位置如何变化，△BEF总是正三角形
（2）设AE=x，△BEF的面积是S，求S关于X的函数解析式

Answer 1

解：(1)连接DB.
证明：∵∠DAB=60°，∴在菱形ABCD中，DB=AB.∠CDB=∠DAB.
且CD=4，即CF+FD=4.又AE+CF=4，∴AE=FD.
∴△DFB≌△AEB.(SAS)
∴FB=EB,且∠FBD=∠EBA.又∠DBE+∠EBA=60°.∴∠FBD+∠DBE=60°.
∴△BEF为正△.
（2）S=S菱形ABCD-(△CFB+△AEB)-△DFE.
S菱形ABCD=CA·DB÷2=8√3.
∵△DFB≌△AEB,∴S(△CFB+△AEB)=S正△CDB=4√3.
DF=AE=x，则DE=4-x.
延长FD，做过E点关于它的垂线.交于点O.
则∠EDO=60°.OE=sin∠EDO×DE=2√3-0.5√3 x.
∴S△DFE=FD×OE÷2=-0.25√3x²+√3x.
∴S=8√3-4√3+0.25√3x²-√3x.
化简得：S=0.25√3x²-√3x+4√3.