Question

高中数学数列（第二小题含不等式证明）

第一题已求得an=n，只需第二小题。
我第一题笔误，a2上标为3

Answer 1

要证明：s=1/(2^1-1)+2/(2^2-2)+...+n/(2^n-n)<4
分母2^n-n >= 2^(n-1)。
所以s<t=1/2^0+2/2^1+...n/2^(n-1)。
t是一个等差数列和等比数列的混合数列，容易求和=2(1+1/2+1/4+...1/2^(n-1)-n/2^n)<2*2=4

Answer 2

对于第一个不等式,

i>=2,右边每一项均大于左边每一项,数学归纳法可证.

i=1,右边项等于左边项

对于第二个等式,右边第二项为等比数列,右边第一项为调和数列.

这两个数列和当n趋向于无穷时,极限均为2,故极限为4.当n不是无穷时,和小于4

调和数列和的求法:

右边第一项*2-右边第一项,错位相减可得一等比数列