Question

求助高二数学…大家帮帮忙

设数列an满足a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-1) an=n/3，n属于正整数集。（1）求数列an的通项.(2)设bn=n/an.求数列bn的前n项和Sn.

Answer 1

设数列an满足a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-1) an=n/3，n属于正整数集。
（1）求数列an的通项.
(2)设bn=n/an.求数列bn的前n项和Sn.

结果：
an=1/(3^n)
bn=n*(3^n)
Sn=(3/4)*(n*3^(n+1)-(n+1)*3^n+1)

(1)（第一步是跟前面那边篇的第一步一样，因为第一个题目没有看错啊，呵呵）

方法一：
a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-1)an=n/3
当n=1时，
a1=1/3
n=2时，
a1+3a2=2/3
a2=1/9
......
an=1/(3^n)

验证：
把an=1/(3^n)代入到
a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-1)an=n/3中
1/3+3*(1/9)+3^2*(1/3^3)+...+3^(n-1)*(1/3^n)=
1/3+1/3+1/3+...+1/3=n/3
成立。

方法二：
a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-1)an=n/3
a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3 (比较上式少一项)
所以(n-1)/3+3^(n-1)an=n/3
所以3^(n-1)an=1/3
an=1/3^n

(2)（第二步，方法一跟前一篇第二步的方法思想一样，用高数微积分的方法，方法二是高中数学做这种题目，常用的方法，拼凑出列项相消来的。）
方法一：(高等数学，微积分法)
bn=n/an=n*3^n
Sn=E(bn)=b1+b2+b3+...+bn
bn=n*3^n=3*n*3^(n-1)
令kn(x)=n*x^(n-1),对x积分得
Kn(x)=x^n,
E(Kn(x))=[1-x^(n+1)]/[1-x]
所以
E[kn(x)]=[E(Kn(x))]' ('为求导号，表示对[E(Kn(x))]求导数。)
=[-(n+1)*x^n*(1-x)+1-x^(n+1)]/[(1-x)^2]
=[n*x^(n+1)-(n+1)*x^n +1]/(1-x)^2
令x=3,代入上式
所以
Sn=3E[kn(3)]
=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n +1]

验证：
n=1
S1=3/4*[9-2*3+1]=3 S1=b1=3
n=2
S2=3/4*[2*27-3*9+1]=21 S2=b1+b2=3+2*9=21
n=3
S3=3/4*[3*81-4*27+1]=3/4*[5*27+1]=136*3/4=34*3=102 S3=S2+b3=21+3*27=21+81=102

方法二:(高中数学，逆向展开，列项相消)
Sn=b1+b2+...+b(n-1)+bn
S(n-1)=b1+b2+...+b(n-1)
Sn-S(n-1)=bn=n*3^n (将n*3^n展开成A(n)-A(n-1)的形式)
n*3^n
=3/4*[n*3^(n-1)*4] 4=(3-1)^2=(3^2-2*3+1)
=3/4*[n*3^(n-1)*(3^2-2*3+1)]
=3/4*[n*3^(n+1)-2n*3^n+n*3^(n-1)] 2n*3^n=(n+1)*3^n+(n-1)*3^n
=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n-(n-1)*3^n+n*3^(n-1)]
令 A(n)=n*3^(n+1)-(n+1)*3^n
则 A(n-1)=(n-1)*3^n-n*3^(n-1)
所以
Sn-S(n-1)=3/4*[A(n)-A(n-1)]
S(n-1)-S(n-2)=3/4*[A(n-1)-A(n-2)]
...
S2-S1=3/4*[A2-A1]=3/4*[2*3^3-3*3^2-3^2+2*3]
上式相加得：
Sn-S1=3/4*[A(n)-A1]=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n-3]
S1=3;
所以
Sn=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n-3]+3
=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n+1]

Answer 2

由a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an=n/3
和a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an+3^na_(n+1)=(n+1)/3得
3^n*a_(n+1)=1/3
所以a_(n+1)=1/[3^(n+1)]
所以an=1/(3^n)=
所以bn=n*3^n
设它的前n项和为S
则S=3+2*3^2+…………n*3^n
3S=3^2+2*3^3+…………(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
上两等式左右分别相减得
(1-3)S=3+3^2+3^3+…………3^n-3^(n+1)
=[3^(n+1)-3]/2+3^n-3^(n+1)
=3^n-[3^(n+1)+3]/2
所以S=[3^(n+1)+3]-2*3^n