Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P（1,f(1))的切线方程为y=3x+1 .

（I）若函数f(x)在x=-2处有极值,求f(x)的表达式；
（II）在（I）的条件下,求函数y=f(x)在[-3,1]上的最大值；
（III）若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围

Answer 1

I) f'(x)=3x²+2ax+b
f(1)=1+a+b+c
f'(1)=3+2a+b
在x=1处切线为y=(3+2a+b)(x-1)+1+a+b+c=(3+2a+b)x-2-a+c
对比y=3x+1, 得：3+2a+b=3, -2-a+c=1
又f'(-2)=12-4a+b=0
解得： a=2, b=-4, c=5
故f(x)=x³+2x²-4x+5

II) f'(x)=3x²+4x-4=(x+2)(3x-2)
极值点为x=-2, 2/3
x=-2为极大值点，f(-2)=-8+8+8+5=13
端点值f(-3)=-27+18+12+5=8, f(1)=1+2-4+5=4
比较得最大值为f(-2)=13

II) f'(x)=3x²+2ax+b>=0, 在[-2, 1]上恒成立，
则有b>=-3x²-2ax=-3(x+a/3)²+a²/3=g(x)
讨论在[-2, 1]时， g(x)的最大值, 而b>=g(x)
当-2=<-a/3<=1时，即-3=<a<=6时，g(x)最大为g(-a/3)=a²/3
...

追问

当b/6≤-2时,f'(-2)≥0 得:x无解
当-2＜b/6≤1时,△《=0 得:0≤b≤12
当b/6＞1时,f'(1)≥0 得 :b＞6
综上:b≥0,
第三问是这样吗?

Answer 2

后面自己用可以画函数图，求导数，自己算

Answer 3

解:1)求导函数f‘(x)=3x^2+2ax+b
由题意:3*1^2+2*1*a+b=3 (ⅰ)
3*(-2)^2-2*2*a+b=0
则 a=2 b= -4
又p点(1,4),代入函数得:c=5
故f(x)=x^3+2x^2-4x+5
(2)欲单调递增,需导函数再此区间上的值恒大于等于0
f‘(x)=3x^2+2ax+b
由(ⅰ)知f‘(x)=3x^2-bx+b
对称轴x=b/6
当b/6≤-3时,f‘(-3)≥0 得:x无解
当-3＜b/6≤1时,(b-b^2/12)≥0 得:0≤b≤6
当b/6＞1时,f‘(1)≥0 得 :b＞6
综上: b≥0

Answer 4

∵函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=（x)上的点P(1,f(1)）的切线方程为y=3x+1
∴f'(x)=3x^2+2ax+b
1^3+a*1^2+b*1+c=3*1+1
3*1^2+2a*1+b=3
∴
a=-b/2
,c=3-b/2
∴f(x)=x^3-b/2x^2+bx+3-b/2
f'(x)=3x^2-bx+b
由函数y=f(x)在区间【-2，1】上单调递减
令f'(x)=0，则△=b^2-4*3b>0,f'(-2)<0，f'(1)<0
题目在该区间单调递减不成立