Question

求解一道高数题，如图

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Answer 1

本题条件不足，无法证明结论成立。
例如：an=n³，bn=1/n²
满足已知条件，但是结论并不成立。

如增加已知条件，Σ(an-an-1)收敛，则可以证明。

newmanhero 2015年7月14日10:57:59

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追问

增加了那个条件，如何证明

追答

设 级数Σ(an-an-1)收敛，Σbn绝对收敛，证明Σanbn绝对收敛。

证：
设级数Σ(an-an-1)收敛于S
则lim(n→∞)Sn = S
其中Sn=(a1-a0)+(a2-a1)+...+(an-an-1) = (an-a0)
从而lim(n→∞)an=S+a0
则存在N，使对一切n有|an|≤M
又|anbn|≤M|bn|
而Σbn绝对收敛
故Σanbn绝对收敛。

【评注】
本题关键是从Σ(an-an-1)收敛得知{an}收敛，从而{an}有界。
原题中，bn是收敛的正项级数，此时暗含bn是绝对收敛的。
但如果bn不是正项级数，只要满足绝对收敛即可。

newmanhero 2015年7月17日09:39:44

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