Question

曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程

设对称曲线上(a,b) 可得出a=y+3 b=x-3 那为什么对称曲线方程可以写成f(y+3,x-3),f的法则不是对应原曲线的吗 可是为什么吧a b带入圆曲线的f就是所求对称方程呢

Answer 1

解：从理论上讲，平面上E（x0,y0)关于直线Ax+By+C=0(A、B不同时为0）的对称点E'(x1,y1)，则x1=x0-[2A/(A^2+B^2)](Ax0+By0+C)，y1=y0-[2B/(A^2+B^2)](Ax0+By0+C)。本题中，设曲线f(x,y)上任意一点E（x0,y0)关于直线x-y-3=0的对称点E'(x1,y1)，利用前述计算公式，可得x1=y0+3，y1=x0-3，故，其对称曲线方程可以写成f(y0+3,x0-3)。【可以直接这样换坐标的位置即可，是特例，原因在于对称轴x-y-3=0与y-x=0这个45°线平行】。一般情况下，将所设点如(a,b)带入原曲线的f（x,y)是不能求出所要求的对称方程的。供参考啊。

Answer 2

其实写详细点应该用a,b表示出已知曲线x,y.放到这题就是写成x=b+3 y=a-3 然后带入已知曲线里，就得到了a,b的关系，即f(b+3,a-3),用x,y表示，形式就是f(y+3,x-3).但是否可以把a,b当作已知曲线上的点带入已知曲线，把表示a,b的x,y当作所要求的曲线上的点，这种从形式上看上去是否是正确的呢？若已知方程为f(x,y)求关于直线Ax+By+C=0对称的曲线g(a,b)。通过计算可以得到a,b用x,y表示为a=x-[2A/(A^2+B^2)(Ax+By+C)] b=y-[2B/(A^2+B^2)(Ax+By+C)].同时x,y用a,b表示为x=a-[2A/(A^2+B^2)(Aa+Bb+C)] y=b-[2B/(A^2+B^2)(Aa+Bb+C)].在交换a,b与x,y后这两个方程组可以相互转化。也就是把a,b当成x,y带入原方程后，把带入后得到的x,y当作要求的a,b形式上是没错的(与对称直线斜率无关)。但这样做并没有逻辑关系，只是形式上正确。

Answer 3

设曲线c：f(x，y)=0，其关于直线y=x+2对称的曲线为c'
设曲线c'上任意一点p(x，y)
则点p关于直线y=x+2的对称点p'(x'，y')必在曲线c上
则f(x'，y')=0
∴(y-y')/(x-x')=-1
(y+y')/2=(x+x')/2=2
解得：x'=y-2，y'=x+2
∴p'(y-2，x+2)
∵p'∈c'
∴曲线f(x，y)=0关于直线y=x+2对称的曲线方程为c'：f(y-2，x+2)=0