Question

已知函数fx=x-|x+2|-|x-3|-m当m=4时求函数的最大值

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Answer 1

鉴于该函数有两个绝对值，比较清楚的方法是按区间分类讨论：
区间的取法为，两部分绝对值分别为 0 的时候的x的取值， 也即：
x = -2 or x = 3

我们从小到大分类讨论：
（1）当 x <= -2 时，fx = x + (x + 2) + (x - 3) - 4 = 3*x - 5；
fx 为单调增函数，最大值在 x = -2 时取到，为fx = -11;
（2） 当 -2 < x < = 3 时， fx = x - (x + 2) + (x - 3) - 4 = x - 9;
fx 为单调增函数，最大值在 x = 3 时取到， fx = -6；
（3） 当 x > 3 时， fx = x - (x + 2) - (x -3) -4 = -x - 3;
fx 为单调减函数，最大值在x 无限趋进于 3 时取到，为fx = -6;
（此时不妨取x >= 3 方便讨论，故最大值 x = 3 时 fx = -6）

该函数的最大值为以上三部分 的最大值，也即当x = 3时， fx = -6。

Answer 2

鉴于该函数有两个绝对值，比较清楚的方法是按区间分类讨论：
区间的取法为，两部分绝对值分别为 0 的时候的x的取值， 也即：
x = -2 or x = 3

我们从小到大分类讨论：
（1）当 x <= -2 时，fx = x + (x + 2) + (x - 3) - 4 = 3*x - 5；
fx 为单调增函数，最大值在 x = -2 时取到，为fx = -11;
（2） 当 -2 < x < = 3 时， fx = x - (x + 2) + (x - 3) - 4 = x - 9;
fx 为单调增函数，最大值在 x = 3 时取到， fx = -6；
（3） 当 x > 3 时， fx = x - (x + 2) - (x -3) -4 = -x - 3;
fx 为单调减函数，最大值在x 无限趋进于 3 时取到，为fx = -6;
（此时不妨取x >= 3 方便讨论，故最大值 x = 3 时 fx = -6）

该函数的最大值为以上三部分 的最大值，也即当x = 3时， fx = -6。