Question

已知函数f(x)是定义在(-∞,0)并(0,+∞)上是奇函数,且当x属于(-∞,0)时f(x)=x+1,则使f(x-1)<0的x的集合是

Answer 1

∵函数f(x)是定义在(-∞,0)并(0,+∞)上是奇函数 f(0)=0
x<0 时 f(x)=x+1
x>0 时 f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1
①当x-1<0 即 x<1 时
f(x-1)=x-1+1=x<0 得 x<0
②当x-1=0 即 x=1 时
f(x-1)=f(0)=0 不成立
③当x-1>0 即 x>1 时
f(x-1)=x-1-1=x-2<0 得 x<2
则 1<x<2
综合①②③可知 x<0 或 1<x<2

所以，使f(x-1)<0的x的集合是（-∞,0)∪(1,2)

Answer 2

当 x>0 时，-x<0, 由已知，f(-x)=-x+1,所以当 x>0 时，f(x)=-f(-x)=x-1.
令 x-1=u,则当u<0时, f(u)=u+1，要使f(u)<0，只要u+1<0,即x-1+1<0,得x<0;
当u>00时, f(u)=u-1，要使f(u)<0，只要u-1<0,
因为u>0,所以0<u<1,即0<x-1<1,得1<x<2.
综上，f(x-1)<0的x的集合是：(-∞,0)∪(1，2)。

解法二：f(x)<0的x的集合是：(-∞,-1)∪(0，1)。将 f(x)的图像右移1，
得f(x-1)的图像，此时x的集合就是将(-∞,0)∪(1，2)右移1个单位，即
(-∞,0)∪(1，2)。

Answer 3

设x属于负无穷到零，则-x属于零到正无穷。题目中f(x)=x 1根据奇函数的性质，f(-x)=-f(x)=-x-1所以在零到正无穷上时f(x)=x 1而f(x-1)是f(x)向右平移1个单位所得，由图象得{x|-无穷<x<0或1<x<2}