Question

设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a （1）求单调区间和极值（2）求证当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1 (ex为e的x次

Answer 1

f的导函数f=ex-2

当 ex-2=0时 即x=ln2是 导函数f=0

当 ex-2<0时 即x<ln2是 导函数f<0 原函数f为减函数

当 ex-2>0时 即x>ln2是 导函数f>0 原函数f为增函数

（1）单调减区间为（-无穷大，ln2】 单调增区间为【ln2，+无穷大）极小值

为f（ln2）=2-2ln2+2a

（2）令 g（x）=ex-（x2-2ax+1）

函数g的导函数g=ex-（2x-2a） 为（1）中的函数f

当a>ln2-1且 函数f的最小值f（ln2）=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0

即导函数g>0

函数g在R上为增函数

g（0）=1-（0-0+1）=0

对于任意的x>0

都有g（x）>g(0)=0

所以有 ex-（x2-2ax+1）>0 即位ex>x2-2ax+1