Question

线性代数，求助，关于r(AB)>=r(A)+r(B)-n的证明，最后一步，为什么r(最后一个矩阵)

线性代数，求助，关于r(AB)>=r(A)+r(B)-n的证明，最后一步，为什么r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)?

Answer 1

取左边的极大线性无关列向量组（r(B)个）和右边的极大线性无关列向量组（r(A)个），容易验证它们合起来也是线性无关的，因此r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)。

追问

”容易验证它们合起来也是线性无关的“，为什么它们合起来也是线性无关的呢？

追答

设x1b1+...+xkbk+y1a1+...+ymam=0，由于左上角是0，因此考虑前一半的坐标可以得到y1a1+...+ymam=0，说明y1=y2=...=ym=0，于是x1b1+...+xkbk=0，再考虑后一半的左边就得到x1=x2=...=xk=0。

Answer 2

因为最后一个矩阵的秩等于r(B)+n,而r(A)小于等于n，所以r(最后一个矩阵)大于等于r(A)+r(B)