Question

高一数学 高手帮忙

设集合A=｛1,2,3｝,B=｛1,2,3｝,从A到B的函数f满足f(f(x))=f(x),这样的函数共有多少个

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Answer 1

如果是满射的话，当然就是一一映射。这个时候只有恒等映射满足f(f(x))=f(x),即此时f(x)=x.

不是满射的情形，如果值域是单元素集，那么必然满足要求。即此时有三个函数f(x)=1,f(x)=2,f(x)=3满足要求。

值域有两个元素的稍难理解些。以值域={1,2}为例来说明，首先必有f(1)=1,f(2)=2,否则就有f(1)=2或者f(2)=1.如果f(1)=2,则f(f(1))=f(2)=f(1)=2,必有f(3)=1,但是f(f(3))=f(3)=f(1)=2,这是一个矛盾。同理f(2)=1亦不可行。
这就说明了值域={1,2}时,f(1)=1,f(2)=2。至于f(3)可取1,2中任一个值.也就是说有两个函数值域是{1,2}满足要求。同理值域为{1,3},{2,3}的情形也分别有两个函数符合要求。

综上可知共有10个函数符合题目要求，它们是：
(1)f(x)=x；
(2)f(x)=1；
(3)f(x)=2；
(4)f(x)=3；
(5)f(x):=f(1)=1,f(2)=2,f(3)=1；
(6)f(x):=f(1)=1,f(2)=2,f(3)=2；
(7)f(x):=f(1)=1,f(2)=1,f(3)=3；
(8)f(x):=f(1)=1,f(2)=3,f(3)=3；
(9)f(x):=f(1)=2,f(2)=2,f(3)=3；
(10)f(x):=f(1)=3,f(2)=2,f(3)=3.

Answer 2

10.