Question

一道数学证明题，要求过程详细

如图，三角形等长的线段AB,CD,EF相交于点O，且角AOC=角BOE=角DOF=60度，若AB=2，试说明：S三角形AOC+S三角形BOE+S三角形DOF<根号3。

Answer 1

设OA=a，……，OF=f，则

S△AOC+S△BOE+S△DOF=(ac+be+df)√3/4，原命题转化为若a+b=c+d=e+f=2且非负，证明ac+be+df<4。

画一个边长为2的正方形PQRS，将PQ边截成长度为a和b的两段，QR边截成e和f的两段，RS边截成d和c的两段，SP边截成d和c的两段（以上依顺序进行截取）：

那么，很容易看出，三个长方形的面积和小于正方形的面积4，证毕。

Answer 2

提示：令OA=x1，OD=x2,OE=x3,
so OF=2-x3,OB=2-x1,OC=2-x2
S三角形AOC+S三角形BOE+S三角形DOF<根号3
=1/2*sin60*(OAOC+ODOF+OBOE）
=根号3/4*[x1(2-x2)+x2(2-x3)+x3(2-x1)]
只需要证根号3/4*[x1(2-x2)+x2(2-x3)+x3(2-x1)]<根号3
即x1(2-x2)+x2(2-x3)+x3(2-x1)<4
2(x1+x2+x3)-(x1x2+x1x3+x2x3)<4
当x1 x2 x3 中其中一个接近2 另外两个接近1时结果逼近于4

Answer 3

三角形面积公式 S=（1/2）absinC ,不知你学过没有，如果没有，对这种竞赛题就算了吧，如果确实想搞竞赛，建议你先学了这个公式。