Question

证明过圆上一点最短的弦是垂直直径的弦

证明过圆上一点最短的弦是垂直直径的弦

Answer 1

设圆O半径为R,P为圆内一点，MN为过圆心O，P两点的直径。AB为过P点并与MN垂直的弦，OP=d1。CD为过P点与MN不垂直的任意弦，OM为圆心到CD的垂直距离，OM=d2。显然，角OMP为直角，在直角三角形OMP中，OP为全村斜边，OM为直角边，OP>OM, d1> d2.  在直角三角形OMC、OPA中，M,P都是所在弦的中点。所以：(AB/2)^2=R^2-d1^2 (CD/2)^2=R^2-d2^2因为d1> d2所以AB<cd得证。