Question

已知函数f（x）定义在 x∈[0，1]，且f（0）=f(1),若对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|

已知函数f（x）定义在 x∈[0，1]，且f（0）=f(1),若对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,求证：|f(x2)-f(x1)|<1/2

Answer 1

不妨设 0≤x1<x2≤1,
①当x2-x1≤1/2时，|f(x2)-f(x1)|<x2-x1=1/2;
②当x2-x1>1/2时，0<(x1-0)+(1-x2)=1-(x2-x1)<1/2,此时，因为f(0)=f(1),
所以 |f(x2)-f(x1)|=|[f(x2)-f(1)]-[f(x1)-f(0)]|
≤|f(x2)-f(1)]|+|[f(x1)-f(0)]|<|x2-1|+|x1-0|
≤(1-x2)+(x1-0)<1/2.
完了。