Question

求解， 数学天才们，速度帮我解决把。

已知函数法f(x)=m(x+1/x)的图像与函数h(x)=1/4(x+1/x)+2的图像关于A（0,1)对称.
(1)求m的值。
(2)若g(x)=f(x)+a/4x在区间（0,2]上为减函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

注意：f(x)的图象关于点(h,k)中心对称等价于f(x+h)+f(h-x)=2k(定理）
（1）由f(x)=m(x+1/x)的图像与函数h(x)=1/4(x+1/x)+2的图像关于A（0,1)对称，得f(x+0)+h(0-x)=2*1即m(x+1/x)+1/4[(-x)+1/(-x)]+2=2，所以m=1/4.
（2）g(x)=f(x)+a/4*x=1/4(x+1/x)+a/4*x=1/4*[(a+1)x+1/x],令0<x1<x2<=2,则x1-x2<0
则g(x1)-g(x2)=1/4*[(a+1)x1+1/x1]-1/4*[(a+1)x2+1/x2]
=1/4*(x1-x2)[a+1-1/(x1*x2)]
>=0
有且仅有a+1-1/(x1*x2)<=0
则a<=1/(x1*x2)-1
而1/(x1*x2)-1>=1/(2*2)-1=-3/4
只需a<=[1/(x1*x2)-1]min=-3/4,即可满足a<=1/(x1*x2)-1
所以a<=-3/4