Question

设a为正常数,f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a)，证明方程f（x）=f（x+a

在［0，a］内至少有一根

Answer 1

设函数Fx=f（x）-f（x+a）
F（0）=f（0）-f（a）；F（a）=f（a）-f（2a）；
又因为f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a)
所以F（a）=f（a）-f（0）
所以F（0）*F（a）=-[f（0）-f（a）]^2
（1）当f（0）=f（a）时，那么f（x）=f（x+a）的一个解为x=0；
（2）当f（0）≠f（a）时，那么F（0）*F（a）=-[f（0）-f（a）]^2〈0，
又因为f(x)在[0,2a]上连续，所以在开区间（0，a）之间至少存在一个数k，使得Fk=f（k）-f（k+a）=0，那么方程f（x）=f（x+a）的一个解为x=k
综合以上两种情况，说明方程f（x）=f（x+a）在闭区间[0.a]之间至少存在一个解