Question

经典数学题！等差等比数列

已知一个数列｛an｝的各项是1或3，首项为1，且在第K个1和第K+1个1之间有2K-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，……记该数列的前n项的和为Sn
（1）试问第2006个1为该数列的第几项？（2）求a2006（3）求该数列的前2006项的和S2006

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Answer 1

解：
（1）先求出数列中“1”的位置的通项式
∵1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13......
1，3，1，3，3，3，1，3，3， 3， 3， 3， 1，……
知道，
第1个1时，其为数列的第1项； 0=2(1-1)
第2个1时，其为数列的第3项； 3-1=2=2(2-1)
第3个1时，其为数列的第7项； 7-3=4=2(3-1)
第4个1时，其为数列的第13项； 13-7=6=2(4-1)
第5个1时，其为数列的第21项； 21-13=8=2(5-1)
第6个1时，其为数列的第31项； 31-21=10=2(6-1)
第7个1时，其为数列的第43项； 43-31=12=2(7-1)
..........
第k个1时，其为数列的第43项； ?-?=2(k-1)

易知道：(A)0、2、4、6、8、10、12...是等差数列，通项=2(k-1)
(B)1、3、7、13、21、31、43......是由一个等差数列2（k-1）和一个递推数列复合而成。其递推关系为：
B（k)=B(k-1)+2(k-1);
用斜加法：求得“1”的位置通项公式：
B（n)=n²-n+1;
所以题目：第2006个1为该数列的:
B(2006)=2006²-2006+1=4022031;
即：第2006个1为该数列的第4022031项；

（2）先判断a2006的位置是否是“1”的位置，即
（反证法）假设a2006的位置是“1”的位置，
那么2006就必须满足：
n²-n+1=2006有正整数解;
==>n²-n-2005=0
△=(-1)²-4*1*(-2005)=8026≈89.588²；
所以n没有正整数解，
所以假设错误，
所以a2006的位置不是“1”的位置，
所以a2006的位置是“3”的位置，即有a2006=3；
(另一方法：试算判断法：
第45个1时，其在数列的位置B(45)=45²-45+1=1981项；
第46个1时，其在数列的位置B(46)=46²-46+1=2071项；
又∵1981＜2006＜2071，所以a2006项不是“1”，所以a2006="3";)
（3)∵第45个1时，其为数列的B(45)=45²-45+1=1981项；
第46个1时，其为数列的B(46)=46²-46+1=2071项；
又∵1981＜2006＜2071
∴ a2006的位置在第45个“1”和第46个“1”之间；
∴ 数列的S2006=45*1+[1+3+...+(2*（45-1）-1）]*3+(2006-1981)*3
=45*1+(1+2*44-1)*44/2*3+25*3
=45+1936*3+75
=5928;
##

Answer 2

解:将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对,�

即(1,3)为第1对,共1+1=2项;�

(1,3,3,3)为第2对,共1+(2×2-1)=4项;�

(1,为第k对,共1+(2k-1)=�2k项;��

……�

故前k对共有项数为2+4+6+…+2k=k(k+1).��

(1)第2 006个1所在项为前2 005对所在全部项的后一项,

即2 005×(2 005+1)+1=4 022 031.�

(2)因44×45=1 980,45×46=2 070,�

故第2 006项在第45对内,从而a 2 006=3.�

(3)由(2)可知,前2 006项中共有45个1,其余1 961个数均为3,

于是S 2 005=45+3×1 961=5 928.