Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)离心率为√3/2 连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)离心率为√3/2 连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4

直线L与椭圆交与不同的点 A B 已知A为(-a,0)
1 若AB=4√2/5 求直线L的倾斜角
2 若点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上 且向量QA*向量QB=4 求y0

Answer 1

(Ⅰ)解：由，得.再由，得a=2b.

由题意可知，，即ab=2.

解方程组 得 a=2,b=1.

所以椭圆的方程为.

(Ⅱ)解：由(1)可知A(-2,0).设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2).

于是A,B两点的坐标满足方程组

由方程组消去y并整理，得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.

由,得

，从而.

设线段AB是中点为M，则M的坐标为.

以下分两种情况：

(1)当k=0时，点B的坐标为(2,0).线段AB的垂直平分线为y轴，于是

.由，得.

(2)当K≠0时，线段AB的垂直平分线方程为.

令x=0，解得.

由,

,

整理得.故.所以.

综上或.