一道定积分高数题 20
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证明：若f(x)恒等于0，则结论显然成立
若f(x)不恒等于0
因为∫(0,1) [tf(x)-1]^2dx>=0对于t∈R都成立
∫(0,1) [t^2*f^2(x)-2tf(x)+1]dx>=0
t^2*∫(0,1) f^2(x)dx-2t*∫(0,1) f(x)dx+∫(0,1)dx>=0
因为上述关于t的一元二次方程对于t∈R都成立，且二次项系数∫(0,1) f^2(x)dx>0
所以判别式△<=0
4[∫(0,1) f(x)dx]^2-4∫(0,1) f^2(x)dx*∫(0,1)dx<=0
[∫(0,1) f(x)dx]^2<=∫(0,1) f^2(x)dx
原题得证
若f(x)不恒等于0
因为∫(0,1) [tf(x)-1]^2dx>=0对于t∈R都成立
∫(0,1) [t^2*f^2(x)-2tf(x)+1]dx>=0
t^2*∫(0,1) f^2(x)dx-2t*∫(0,1) f(x)dx+∫(0,1)dx>=0
因为上述关于t的一元二次方程对于t∈R都成立，且二次项系数∫(0,1) f^2(x)dx>0
所以判别式△<=0
4[∫(0,1) f(x)dx]^2-4∫(0,1) f^2(x)dx*∫(0,1)dx<=0
[∫(0,1) f(x)dx]^2<=∫(0,1) f^2(x)dx
原题得证
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