Question

数学，高一的

已知二次函数同时满足条件：（1）f（1+x）=f(1-x) (2)f(x)的最大值是12 （3）f(x)=0的两根平方和等于10.求：f（x）的解析式

Answer 1

设二次函数f（x）的解析式为 f(x)=ax²+bx+c
∵f（1+x）=f(1-x)
∴ a(1+x)²+b(1+x)+c=a(1-x)²+b(1-x)+c
化简得 b=-2a ①
∵f(x)的最大值是12
∴ a<0 (4ac-b²)/4a=12 则4ac-b²=48a ②
设f(x)=0的两根为x1,x2 则 x1+x2=-b/a x1·x2=c/a
∵f(x)=0的两根平方和等于10
即 x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=b²/a²-2c/a=10
∴b²-2ac=10a² ③
将①代入②得 4ac-4a²=48a
得 c-a=12 ④
将①代入③得 4a²-2ac=10a²
得 c=-3a ⑤
将⑤代入④得 a=-3
将 a=-3 代入①⑤可得 b=6 c=9

所以，函数f（x）的解析式为 f(x)=-3x²+6x+9

Answer 2

解：
设 f(x)=ax^2+bx+c
由（1）可知：
-b/2a=1(对称轴) 得：b=-2a;
原式: f(x)=ax^2-2ax+c
由（2）可知：
a<0且 f(1)=12 得：c=a+12;
原式：f(x)=ax^2-2ax+a+12
令f(x)=0的两根为：x1,x2;
则存在：x1+x2=2;x1*x2=(a+12)/a (维达定理)
由（2）可知：
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2*x1*x2=a^2-2(a+12)/a=10
可解得：a=-3
答案：f(x)=-3x^2+6x+9