Question

函数y=f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则

A.f(x)是偶函数 B.f(X)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数
请附上详细解答过程,谢谢~

Answer 1

函数定义域为R，
且f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，
∴f(-x+1)=-f(x+1)………………①
f(-x-1)=-f(x-1)…………………②
由①令-x+1=t得：f(t)=-f(2-t)…………③
由②令-x-1=t得：f(t)=-f(-2-t)………④
由③、④得f(2-t)=f(-2-t）由此令-2-t=m得f(m)=f(4+m)
因此函数f(x)的周期为4，
∴由②可知：
f(-x+3)=-f(x+3)
∴f(x+3)为奇函数。

D