Question

sin(x的平方)的不定积分是多少？跪求

Answer 1

sin平方x的积分= 1/2x -1/4 sin2x + C(C为常数)。

解答过程如下： 

解：∫(sinx)^2dx =(1/2)∫(1-cos2x)dx =(1/2)x-(1/4)sin2x+C(C为常数) 分部积分： (uv)'=u'v+uv' 得：u'v=(uv)'-uv' 两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx 即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式 也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv 。

不定积分的公式：

∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C

Answer 2

如果被积函数是(sinx)²,则求解较简单。sin(x²)的积分无法用初等函数表示，但此题可以用级数法求解。已知sinx的级数展开式是：
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...
所以，sinx²的展开式是：
sin(x²)=x^2-x^6/3!+x^10/5!-x^14/7!+...
对上式右边逐项积分得：
∫sin(x²)dx=∫(x^2-x^6/3!+x^10/5!-x^14/7!+...)dx
=c+x^3/3-x^7/(7*3!)+x^11/(11*5!)-x^15/(15*7!)+...
上面的c是一个积分常数。