Question

一个大一高数题！急急急！！

已知x[1]=3,x[n+1]=(3+x[n])^1/2,求limx[n]。（x后的括号下标，lim下面是n趋于无穷大）求高手解答！
要求先用单调有界定理证明极限存在，再利用递推试计算极限

Answer 1

x[2]=2<3 x[3]=6^1/2<3
设x[n-1]<3 则x[n]<(3+3)^1/2=6^1/2<3
x[n]>0 故x[n]有界

x[1]>x[2] 设x[n-1]>x[n]
则x[n-1]>（3+x[n-1])^1/2
x[n-1]>(1+13^1/2)/2
x[n]=（3+x[n-1])^1/2>(1+13^1/2)/2
所以x[n]>x[n+1]
所以x[n]递减

极限存在

当n趋于无穷大,x[n+1]-x[n]趋于0
即(3+x[n])^1/2-x[n] 趋于0
x[n]趋于(1+13^1/2)/2
极限为(1+13^1/2)/2