Question

柯西不等式证明！

老师上课的时候讲的一个问题：等式(a+b)(1/a+n/b)，其中n为整数，不管n取多少，用柯西不等式都求得最小值为4，很费解，求高人解释！

Answer 1

柯西不等式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等号成立条件：ad=bc
证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)
＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2
＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

根据你题目意思，a、b≥0，为正整数
原式=（√a^2+√b^2）（1/√a^2+√n^2/√b^2）
≥（1+√n）^2
n=1时，原式有最小值4

Answer 2

记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
还可以用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 注∑是求和公式哈

Answer 3

可以用向量来证：
设向量a(a1,a2)向量b(b1,b2)
向量a乘向量b小于等于a的模乘b的模
即a1b1+a2b2小于等于（a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)

Answer 4