Question

如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点。 （1）求证：EF=½AB。

如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点。 （1)求证：EF=½AB。

Answer 1

证明:
连接 BE
因为 BD = BC , 所以 三角形 BDC 是等腰三角形
因为 E 是 CD中点, 所以 BE ⊥ CD

所以 三角形 ABE 是直角三角形
F 是斜边AB 中点
根据 直角三角形斜边上中线 等于 斜边 之半 所以
EF = AB/2

Answer 2

证明：（1）连接BE，
∵DB=BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD．
∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，
∴EF=12
AB；

（2）[方法一]在△ABG中，AF=BF，AG∥EF，
∴EF是△ABG的中位线，
∴BE=EG．
在△ABE和△AGE中，AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE；

[方法二]由（1）得，EF=AF，
∴∠AEF=∠FAE．
∵EF∥AG，
∴∠AEF=∠EAG．
∴∠EAF=∠EAG．
∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE．