Question

证明函数f（x）=x+m/x，且f（1）=2是奇函数且在区间[--1,0 ）上是减函数

证明函数f（x）=x+m/x，且f（1）=2是奇函数且在区间[--1,0 ）上是减函数
（1）求实常数m的值
（2）判断f（x）的奇偶性
（3）函数f（x）在（1，+∞）上市增函数还是减函数，并证明

Answer 1

解：

(1)

f(1)=1+m=2

∴m=1

(2)

f(x)=x+1/x

定义域是x≠0，

f(-x)=-x-1/x=-f(x)

∴f(x)是奇函数

(3)

是增函数，证明如下：

任意取a＞b＞1,则

f(a)-f(b)

=a-b+1/a-1/b

=(a-b)(1-1/ab)

∵a-b＞0,ab＞1，即1-1/ab＞0

∴f(a)-f(b)＞0

即f(x)在(1,+∞)上式增函数

得证