Question

已知1/3≤a≤1 若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上最大值为M(a)最小值为N(a)令g(a)=M(a)-N(a) 求g(a)的解析式

要过程详细的数学没学好

Answer 1

∵1/3≤a≤1 ∴函数f(x)=ax²-2x+1是开口向上的抛物线
对称轴x=-(-2)/(2a)=1/a∈[1,3]
①当1≤x=1/a≤2 即 1/2≤a≤1时
M(a)=f(3)=9a-5
N(a)=f(1/a)=1-1/a
g(a)=9a-5-1+1/a=9a+1/a-6
②当2<x=1/a≤3 即 1/3≤a<1/2 时
M(a)=f(1)=a-1
N(a)=f(1/a)=1-1/a
g(a)=a-1-1+1/a=a+1/a-2

∴ g(a)=9a+1/a-6 (1/2≤a≤1)
g(a)=a+1/a-2 ( 1/3≤a<1/2）

Answer 2

因为y=ax2-2x+1.当x=-(-2)/2a=1/a时,y取得最小值[4a-(-2)2]/4a=(a-1)/a.
因为1/3≤a≤1.x能取得1/a.则1≤x≤3.
如题,当1≤x≤3时,y能取得最小值N=1-1/a.
这时x=1/a.因为y=ax2-2x+1是二次函数.所以y在1/a处向两边递增.
3-1/a=1/a-1时.a=1/2.
讨论:
当1>=a>1/2时.x取1则y有最大值M=a-2+1=a-1.
所以y=a+1/a-2.
当1/3<=a≤1/2时.x取3则y有最大值M=9a-6+1=9a-5.
所以y=9a+1/a-6.

所以
当1>=a>1/2时y=a+1/a-2.
当1/3<=a≤1/2时所以y=9a+1/a-6.