Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴的一个端点到右焦点的距离为3。 1，求C的方程

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴的一个端点到右焦点的距离为3。
1，求C的方程；
2，设直线L与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线的距离为√3/2，求三角形AOB的面积的最大值；

Answer 1

1,x^2/3+y^2=1
2,√3/2
过程我拿电子邮件发给你。太麻烦了。

Answer 2

AB|=√(1+k^2) √[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2) √[36k^2b^2/(1+3k^2)^2-4·3(b^2-1)/( 1+3k^2)]
=√(1+k^2) √[(36k^2+12-12b^2)/(1+3k^2)^2]
将b^2=3(k^2+1)/4代入
=√(1+k^2) √[(36k^2+12-9(k^2+1))/(1+3k^2)^2]
=√(1+k^2) √[3(9k^2+1) /(1+3k^2)^2]
=√(3+3k^2) √[(9k^2+1) /(1+3k^2)^2]
=√[(3+3k^2) (9k^2+1)] /(1+3k^2)
利用基本不等式
≤[(3+3k^2)+ (9k^2+1)] /[2 (1+3k^2)]=2
3+3k^2=9k^2+1时取到等号。
此时k=±3.
所以面积最大值是1/2·2·√3/2=√3/2.
k=±√3时取到等号！！！

Answer 3

先答下第一问吧，
要记得在纸上先画好草图，
那么你会发现，短轴顶点到左焦点和右焦点的距离是一样的，
根据椭圆的对称性，得，
2a=3+3=6, a=3，a^2=9.
又已知离心率，
c/a=根号6/3, c=根号6. c^2=6.
则计算出b^2=9-6=3.
所以C方程为 x^2/9+y^2/3=1.

第二问我还没学圆锥曲线，更不知道综合类题目了。
不过刚画了个图，
Saob=0.5*AB*OC (此处过O点作AB垂线，设交于点C）
0C的距离题目中已经告诉了，
要使三角形面积最大，就等价于使直线L截椭圆的AB最长，
我觉得直线L=√3/2或-√3/2时截得的AB最长
此时y^2=3/4, 代入第一问求得的方程中，解得，
x=3√3/2或-3√3/2 .
AB=3√3
S=0.5*3√3*√3/2=9/4

第二问不大确定对不对，知道了正确答案发给我看一下啊。

Answer 4

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴的一个端点到右焦点的距离为3。
1，求C的方程；
2，设直线L与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线的距离为√3/2，求三角形AOB的面积的最大值；

Answer 5

6分之1