Question

高一数学题 急啊·····

设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（1/3）=1，且当x＞0时，f（x）＜0 。
（1）求f(0)的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f(x)+f(2+x)＜2,求x的取值范围。

Answer 1

由于f(x+y)=f(x)+f(y),可以得到f(1/3+0)=f(1/3)+f(0),将f(1/3)代入，得到f(0)=0.判断它的奇偶性，可以这样做，f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x),可以得到f(x)=-f(-x)。这是奇函数。第三个，f(x)+f(2+x)=f(x+2+x)<2,f(2+2x)<2.因为2>0,根据题意，f(2+2x)-2<0,f(2+2x)+(-2)<0,由于是奇函数，2f(1/3)=2,-2f(1/3)=f(-1/3)+f(-1/3),所以，f(2+2x)+f(-1/3)+f(-1/3)<0,得到，f(2+2x-1/3-1/3)<0,根据题意，2+2x-2/3>0,得到x>-4/6

Answer 2

1.令x=0,y=0则
f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)所以f(0)=0
2.令x=-y则f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)=-f(-x)奇
3。f(1/3)=1，f(2/3)=2
则x+2+x<2/3
x<-2/3