Question

若函数f(x)=a^x - x - a (a>0且a≠1) 有两个零点,则实数a的取值范围是________。

Answer 1

f'(x)=a^xlna-1
若a<1，则lna<0，从而f'(x)<0，即f(x)单调递减,故不可能有两个0点
所以a>1
令f'(x)≥0
x≥ln(1/lna)/lna=-lnlna/lna
所以f(x)在(-∞,-lnlna/lna]单调递减,[-lnlna/lna,+∞)单调递增,从而在x=-lnlna/lna处取得最小值.
令f(-lnlna/lna)<0，f(x)=0就有两个0点
f(-lnlna/lna)=a^log[a](1/lna)+lnlna/lna-a
=1/lna+lnlna/lna-a<0
<=> alna>lnlna+1
可以证明上式是恒成立的
所以a>1