Question

线性代数 行列式 第二题 过程 谢谢。

Answer 1

显然行列式经过初等行变换后，可以变成范德蒙行列式
使用冒泡排序，将最后1行，与上面各行依此对换，变换到第1行（需交换n次），
将最后倒数第2行，与上面各行依此对换，变换到第2行（需交换n-1次），
如此进行下去，
每交换一次，行列式正负号改变一次。
共交换n+(n-1)+(n-2)+...+1
=n(n+1)/2次

因此行列式等于（-1）^[n(n+1)/2] ×d
其中d是n+1阶范德蒙行列式，
是(a-n-(a-n+1))(a-n-(a-n+2))...(a-n-a)*
(a-n+1-(a-n+2))(a-n+1-(a-n+3))...(a-n+1-a)*
...
(a-2-(a-1))

=(-1)(-2)...(-n)*
(-1)(-2)...(-(n-1))*
...(-1)

=n!(n-1)!...2!1!(-1)^(n+(n-1)+...+1)
=n!(n-1)!...2!1!(-1)^[n(n+1)/2]

因此
结果等于（-1）^[n(n+1)/2] ×n!(n-1)!...2!1!(-1)^[n(n+1)/2]
=n!(n-1)!...2!1!

Answer 2

把行重排序一下，化成Vandermonde行列式就行了