Question

已知函数f(x)=x+a/x,g(x)=a-2x 若不等式f(x)大于等于g(x)在 [1,正无穷]恒成立，试求实数a的取值范围。

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Answer 1

解：f(x)≥g(x)即为x+(a/x)≥a-2a.
化简得：3x²-ax+a≥0
当根的判别式 a²-12a≤0时，上述等式恒成立，所以在[1,+∞）上也恒成立。
即：a∈[0,12]

根的判别式 a²-12a>0时，函数y=3x²-ax+a与x轴有两个交点，x1和x2,且x2>x1.若使3x²-ax+a≥0在 [1,+∞]恒成立，x2≤1。
解a²-12a>0得，a<0,或a>12；
若满足1>x2>x1，必有函数y=3x²-ax+a的对称轴x=a/6<1,即a<6.
所以：a<0. (a>12舍去）
而x2=a+√(a²-12a)
所以：[a+√(a²-12a)]/6<1, 即√(a²-12a)<6-a ,对于a<0，这个不等式恒成立
所以：a<0

综上两种情况得知：a∈(-∞，12]

Answer 2

设h(x)=f(x)-g(x)=3x+a/x-a在[1，+∞）大于等于0恒成立，只需h(x)的最小值≥0

h'(x)=3-ax^(-2)，令h'(x)=0,x^2=a/3

1）若a≤0则无根，h'(x)≥0恒成立，所以h(x)增函数，最小值就是h(1)=3≥0恒成立

2）若a>0则x=√(a/3)(负的舍了)
i)当√(a/3)≤1时，即0<a≤3时，情况同1）
ii)当√(a/3)>1时，即a>3,
x∈[1，√(a/3)]时，h'(x)<0;x∈[√(a/3)，+∞）时，h'(x)>0
所以h(x)先减后增，h(√(a/3))为最小值=[2√(3a）]-a≥0
解得0≤a≤12，所以3<a≤12

综上，a≤0或0<a≤3或3<a≤12，即：a≤12

Answer 3

由题意，本题就是f(x)-g(x)≥0在[1,+∞）上恒成立的问题
化简可得3x+a/x≥a在[1,+∞）上恒成立的问题
令u(x)=3x+a/x，
①当a≤0时，u（x）在[1,+∞）上单调递增，恒成立
②当0＜a≤1时，u（x）在[1,+∞）上单调递增,恒成立
③当a＞1时，u（x）在[1,√a]上单调递减，在[√a,+∞）上单调递增
只需满足u(√a)≥a即可
∴a≤4
综上，a≤4