Question

高一数学竞赛题------集合

1.设集合A={x|x=9a+6b+5c,a,b,c属于整数},集合B={x|x=3p+5q+6r,p,q,r属于整数}求证,A=B
2.S1,S2,S3为非空集合,对于1,2,3的任意一个排列i, j, k,若x属于Si,y属于Sj,则x-y属于Sk,证明:三个集合中至少有两个相等,三个集合中是否有可能有两个集合无公共元素
3.已知集合:A={(x,y)|ax+y=1},B={(x,y)|x+ay=1},C={(x,y)|x`2+y`2=1},试问当a取何值时,(A并B)交C为含有两个元素的集合?当a取何值时,,(A并B)交C为含有三个元素的集合?
4.设n属于正整数且n大于等于15，A,B都是{1,2,3,...,n}的真子集,A交B=空集,且A并B={1,2,3,...,n}.证明:A或B中必有两个不同数的和为完全平方数.
5.以某些整数位元素的集合P具有以下性质:1.P中元素有正数,有负数:2.P中元素有奇数有偶数:3.-1不属于P:4.若x,y属于P.则x+y属于P,试判断实数0与2与集合P的关系
6.设S为满足下列条件的有理数的集合:1.若a,b属于S,则a+b属于S,ab属于S:2.对任一个有理数r,三个关系r属于S,-r属于S,r=0有且仅有一个成立.证明:S是有全体正有理数组成的集合.
7.设集合A={a1,a2,a3,a4,a5},B={a1`2,a2`2,a3`2,a4`2,a5`2},集合A中的元素都是自然数且a1小于a2小于a3小于a4小于a5,并满足A交B={a1，a4},又a1+a4=10，A并B中所有元素之和等于224，求集合A

Answer 1

7.首先a1+a4=10且a1,a4均为完全平方数（因为A交B={a1,a4})。又因为a1<a4，所以a1=1,a4=9.
A并B中的元素的和a2(a2+1)+a3(a3+1)+a5(a5+1)+1+81=256.
故a2(a2+1)+a3(a3+1)+a5(a5+1）=174.
因为a1方=1，a4方=81，所以有两种情况——a2方=9或a3方=9，即a2=3或a3=3。
讨论：
1）若a3=3，则a2=2，a5(a5+1)=156,a5=12.故A={1,2,3,9,12};
2) 若a2=3, 则a3(a3+1)+a5(a5+1)=162
a) a3=4时 a5不属于自然数——错误；
b) a3=5时 a5=11 故A={1,3,5,9,11};
c) a3=6时 a5不属于自然数——错误;
d) a3=7时 a5不属于自然数——错误;
e) a3=8时 a5=9 故A={1,3,8,9,9},因为集合中元素具有互异性，
所以该解错误。
所以A={1,3,5,9,11}或A={1,2,3,9,12}