Question

四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上

四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上。（1）求证：平面AEC⊥平面PDB（2）当PD=根号2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小

Answer 1

1）PD⊥底面ABCD
所以 AC⊥PD
又 AC⊥BD
所以AC⊥平面PDB
又 AC在平面AEC上
所以平面AEC⊥平面PDB
2）设AC BD交点为O
因为AC⊥平面PDB
所以 ∠AEO就是AE与平面PDB所成的角
且AO⊥OE
E为PB的中点，O为BD中点
所以OE=1/2PD=√2AB/2
又AO=1/2AC=1/2=√2AB/2
所以 AO=OE
又AO
∠AEO=45°

Answer 2

⑴
AC⊥PD.（∵PD⊥底面ABCD）AC⊥BD,∴AC⊥平面PDB,
AC∈平面ACE.
∴平面ACE⊥平面PDB,
⑵
设底面中心为O.,则OE‖DP（中位线），
DP‖平面AEC（∵O∈AC）
假如棱PC（不包括端点）上存在点F，使得DF‖平面AEC，则平面PDF‖平面AEC.
与C∈平面PDF∩平面AEC.矛盾，∴所求的F不存在。