Question

若函数y=f(x)的值域是[1/2,3]，则函数F( x)=f(x)+1/f(x)的值域是多少？

Answer 1

把f(x)看成一个数，然后根据基本不等式f(x)+1/f(x)大于等于2，fx=1时取到，所以2是最小值，然后fx=3取最大值（自己观察），所以值域【2,10/3】

Answer 2

解：当f(x)=1/2时，F(x)=(1/2)+[1/(1/2)]=5/2
当f(x)=3时，F(x)=3+(1/3)=10/3
所以：F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是[5/2,10/2]

Answer 3

只需计算[1/2,3]上的函数y+1/y 的最值
首先y+1/y>=2(y*1/y)^(1/2)=2，最小值是2
(y+1/y)'=1-1/y^2=(y^2-1)/y^2
在[1/2,1]函数下降，在[1,3]函数上升
最大值在1/2或3处取得，在x=3取得最大值10/3
F的值域[2,10/3]

Answer 4

设t=f(x),t∈[0.5,3]

F(x)=t+1/t(俗称对号函数)

当t>0时，t+1/t≥2，当且仅当t=1时取等号,1∈[0.5，3]

所以t=1时，F(x)最小值2
t=0.5，F(x)=2.5
t=3时,F(x)=10/3>2.5

所以最大值为10/3,值域[2，10/3]