Question

如图，过线段AB的两个端点做射线AM、BN，使AM‖BN，按下例要求画图并解答画∠MAN、∠NBA的平分线交与点E

如图，过线段AB的两个端点做射线AM、BN，使AM‖BN，按下例要求画图并解答画∠MAN、∠NBA的评分表现交与点E（图已给出）
①∠AEB是一个什么角？
②过点E作一直线交AM于D，交BN于C观察线段DE、CE，你有何发现？
③无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB;②AD+BC=CD谁成立？并说明理由

Answer 1

解：（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，
∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，
即∠AEB为直角；

（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，如图则EF∥AD∥BC，
∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，
∵∠3=∠4，∠1=∠2，
∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，
∴AF=FE=FB，
∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，
根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，
∴ED=EC；

（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，
总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．

Answer 2

解：（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，
∴∠1+∠3= 12（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，
即∠AEB为直角；

（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，如图则EF∥AD∥BC，
∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，
∵∠3=∠4，∠1=∠2，
∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，
∴AF=FE=FB，
∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，
根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，
∴ED=EC；

【（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，
总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB． 】