Question

数学达人进。

已知函数f(x)是定义在R上的函数，若对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，有f(x)＞0
（1）判断函数的奇偶性
（2）判断函数f(x)在R上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

Answer 1

(1) f(x)是奇函数
f(0)=f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)

(2) f(x)增函数
设有x1,x2属于R，令x1<x2, 则x2-x1>0 f(x2-x1)>0
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0
所以 f(x1)<f(x2)

Answer 2

解
令y=x=0,有f(0)=2f(0),故f(0)==0
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)又f(0)==0
故f(x)=-f(-x),即为奇函数
(2)
令x1>x2
则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)
又f(x)=-f(-x),且x＞0时，有f(x)＞0
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0
故f(x)在R上是增函数