连接对角线互相垂直的四边形各个中点,所得的四边形是什么形状?写出已知求证

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sh5215125
高粉答主

2016-03-24 · 说的都是干货,快来关注
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所得的四边形是矩形

设四边形ABCD的对角线AC⊥BD,E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD边的中点,求证:四边形EFGH是矩形。

证明:

∵E是AD的中点,F是AB的中点,G是BC的中点,H是CD的中点,

∴EF是△ABD的中位线,HG是△BCD的中位线,

   EH是△ACD的中位线,FG是△ABC的中位线,

∴EF//BD,HG//BD,EH//AC,FG//AC,

∴EF//HG,EH//FG(平行于同一直线的两条直线互相平行),

∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形),

设AC与BD交于O,AC与EF交于M,

∵AC⊥BD,

∴∠DOC=90°,

∵EF//BD,

∴∠EMO=∠DOC=90°,

∵FG//AC,

∴∠EFG=∠EMO=90°,

∴四边形EFGH是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形)。

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