连接对角线互相垂直的四边形各个中点,所得的四边形是什么形状?写出已知求证
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所得的四边形是矩形
设四边形ABCD的对角线AC⊥BD,E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD边的中点,求证:四边形EFGH是矩形。
证明:
∵E是AD的中点,F是AB的中点,G是BC的中点,H是CD的中点,
∴EF是△ABD的中位线,HG是△BCD的中位线,
EH是△ACD的中位线,FG是△ABC的中位线,
∴EF//BD,HG//BD,EH//AC,FG//AC,
∴EF//HG,EH//FG(平行于同一直线的两条直线互相平行),
∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形),
设AC与BD交于O,AC与EF交于M,
∵AC⊥BD,
∴∠DOC=90°,
∵EF//BD,
∴∠EMO=∠DOC=90°,
∵FG//AC,
∴∠EFG=∠EMO=90°,
∴四边形EFGH是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形)。
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