Question

∫√(x)ln²xdx

Answer 1

解：∫[√(1+x²)/x]dx=∫dz/(sinz*cos²z)(令x=tanz,则sinz=x/√(1+x²),cosz=1/√(1+x²),再化简)=∫sinzdz/(sin²z*cos²z)=-∫d(cosz)/[(1-cos²z)cos²z]=∫[-1/cos²z-(1/2)/(1+cosz)-(1/2)/(1-cosz)]d(cosz)=1/cosz-(1/2)[ln(1+cosz)-ln(1-cosz)]+C(C是积分常数)=1/cosz-(1/2)ln[(1+cosz)/(1-cosz)]+C=1/cosz-ln│(1+cosz)/sinz│+C=√(1+x²)+ln[│x│/(1+√(1+x²))]+C。