Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x

1.求函数f(x)解析式
2.求当x∈[0,a](a>0)时f(x)的最小值g(a)

Answer 1

我来大体给你说说 最笨的方法是 设定f（x）=ax^2+bx+c
第二步变量代换 令x-1=t x+1
第三步 对应取值 可以直接求取 ABC的值
这样解析式就出来了
2）求导数 令其值为0 定义域能的在极值点出 就可求出最小值 若0点不在极致点 可继续求导 判断函数的特征。

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)+f(x-1)
=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c
=2ax^2+2+2bx+2c
=2x^2-4x
2a=2,2b=-4,2c+2=0
a=1,b=-2,c=-1

f(x)=x^2-2x-1

f(x)=(x-1)^2-2,开口向上,对称轴是x=1
当x∈[0,a](a>0)时f(x)的最小值g(a):
(1) a<1时,g(a)=f(a)=a^2-2a-1
(2)a>=1时,g(a)=f(1)=-2