Question

已知函数g(x)=x^2+1,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x属于[-1,2]时,f(x)的最大值为0.5

求f(x)的解析式
要详细的过程

Answer 1

解：f(x)是二次函数，假定f(x)=y=ax2+bx+c
根据f(x)+g(x)是奇函数，f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)，得f(x)+f(-x)=-g(x)-g(-x)，代入g(x)=x2+1，得到f(x)+f(-x)=-2x2-2
再代入f(x)=y=ax2+bx+c，f(-x)=y=ax2-bx+c得
2ax2+2c=-2x2-2
两边要恒等，要求2a=-2，2c=-2，得出a=-1，c=-1
此时，f(x)=y=ax2+bx+c=-x2+bx-1，其顶点为(b/2,b2/4-1),为开口向下的抛物线
要利用当x属于[-1,2]时,f(x)的最大值为0.5这个条件就要讨论b的取值范围
1.当b/2在[-1,2]之间，也就是-1≤b/2≤2时，即-2≤b≤4时，在此抛物线的顶点处取得最大值，这时b2/4-1=0.5，解得b=±√6，但b=-√6不满足-2≤b≤4，所以b=√6，这时，f(x)=-x2+√6x-1
2.当b/2≤-1，即b≤-2时，则在x属于[-1,2]是减函数，则在-1处取得最大值，这时f(1)=0.5=-1-b-1,解得b=-2.5满足b≤-2的条件，这时
f(x)=-x2-2.5x-1
3.当b/2≥2，即b≥4时，在x属于[-1,2]是增函数，在x=2处取得最大值，这时f(2)=0.5=-4+2b-2，解得b=3.25，但不满足b≥4，可排除

综上，f(x)的解析式为f(x)=-x2+√6x-1或者f(x)=-x2-2.5x-1