Question

已知函数fx是定义在R上的偶函数,且当x小于等于0时fx=x2+4x.求函数f(x)的解析式

已知函数fx是定义在R上的偶函数,且当x小于等于0时fx=x2+4x.求函数f(x)的解析式已知函数fx是定义在R上的偶函数,且当x小于等于0时fx=x2+4x.求函数f(x)的解析式。这一题的解析中横线的部分没搞懂，为什么就所以了？

Answer 1

因为偶函数定义上就是关于x轴对称的函数，即任取一个x得到的y总与-x得到的y相同。用另一种表示方法就是f(x)=f(-x)，为避免混淆取一个数值a
当x≤0时的函数表达式为f(x)=x^2+4x，那么函数值就变成了f(a)=a^2+4a，那么根据对称性，存在一个数-a为≥0的数，把它代入函数会得到相同的值，及f(-a)=f(a),所以f(-a)=(-a)^2+4(-a)=a^2-4a,再用x表达函数时就是f(-x)=x^2-4x

Answer 2

看看我的详解如何：
x＞0时，-x＜0
根据题意，
f(-x)=(-x)²+2·(-x)
=x²-2x
又由于f(-x)=f(x)【偶函数的定义】
∴f(x)=x²-2x

于是，
f(x)=
{x²+2x x≤0
{x²-2x x＞0

追问

那这一题也是同理吗

Answer 3

就是这样，不懂可以再问

Answer 4

解析有点问题不好理解，我来将清楚些
当x≤0时f(x)=x²+4x 我现在将-x来代替x
那么f(-x)=(-x)²+4(-x)=x²-4x
-x必须≤0才能用-x来代替x
既然-x≤0 那么x就≥0
根据偶函数性质f(-x)=f(x)
即f(-x)=f(x)=x²-4x x≥0
这样一来就求出了偶函数在x≥0时的解析式
代换这个很有用
有时可以用1/x来代换x求解析式等。