求∫1/1+(tanx)^adx

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fin3574
高粉答主

2016-05-22 · 你好啊,我是fin3574,請多多指教
fin3574
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原函数不初等,所以应该是计算0到π/2的定积分吗?
答案是π/4

设A = ∫(0,π/2) 1/[ 1 + (tanx)^a ] dx,a∈R
令x = π/2 - t,dx = - dt,tan(π/2 - t) = cot(t)
A = ∫(0,π/2) 1/[ 1 + (cotx)^a ] dx,同乘tanx
= ∫(0,π/2) (tanx)^a/[ (tanx)^a + 1 ] dx
将两个式加起来,
A + A = 2A = ∫(0,π/2) [ 1 + (tanx)^a ]/[ 1 + (tanx)^a ] dx
2A = ∫(0,π/2) dx = π/2
即A = π/4
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