Question

若函数y=f(x)对任意xy∈R恒有f(x+y)=f(x)+f(y)

1.求证y=f(x)是奇函数
2.若f(-3)=m求f(12)
3.如果x>0时f(x)<0且f(1)= -1/2 求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值

Answer 1

令x,y=0,则f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
f(12)=2f(6)=4f(3) f(3)=-f(-3)=-m 所以f(12)=-4m
f(1)= -1/2 那么f(-1)= 1/2 f(-2)= f(-1)+f(-1)=1
f(2)= -1 f(6)= 3f(2)=-3 设X1＞X2 那么X1-X2＞0 f(X1)- f(X2)= f(X1-X2)＜0 所以是减函数 所以最小值是-3 最大值是1

Answer 2

1、取x=y=0,则有：
f(0)=f(0)+f(0),即：f(0)=2f(0),所以f(0)=0
再取y=-x，代入有：
f(x-x)=f(x)+f(-x)
即：f(x)+f(-x)=0,
f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数。

Answer 3

1 x=y=0 f(0)=f(0)+f(0) 得f(0)=0
y=-x f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0得f(-x）=-f(x）
2 f(-6)=f(-3)+f(-3)=2m f(-12)=f(-6)+f(-6)=4m f(12)=-f(-12)=-4m
3 x>0 y>0时 x+y>x f(x+y)=f(x)+f(y)<f(x) 减函数
又是奇函数 在-2最大 6时最小 已知f(1) 同2步加得结果